Question

已知函数f（x）=

2

x-1

（x∈[2，6]）
（1）判断函数的单调性并证明你的结论；
（2）求函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）可得函数为减函数，由定义法可证；
（2）由单调性可知，x=2时取得最大值，x=6时取得最小值，代值计算即可．

解答：解：（1）f（x）=

2

x-1

在[2，6]上是减函数--------（2分）
下面证明：设x₁，x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，---------（3分）
则f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

---（5分）
由2≤x₁＜x₂≤6 得x₂-x₁＞0 （x₁-1）（x₂-1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0 即 f（x₁）＞f（x₂）-------------（7分）
∴f（x）=

2

x-1

在[2，6]上是减函数--------------（8分）
（2）∵f（x）=

2

x-1

在[2，6]上是减函数
∴f（x）=

2

x-1

在x=2时取得最大值，最大值是2--------（10分）
在x=6时取得最小值，最小值是0.4----------（12分）

点评：本题考查函数的单调性的判断和证明，以及函数最值得求解，属基础题．