Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，且满足sinC-sinBcosA=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若cos

A

2

=

2 5

5

，求

a

b+c

的值．

Answer 1

分析：（1）根据C=π-（A+B），再由诱导公式将角C的正弦转化为角AB的关系即可得到答案．
（2）根据余弦的二倍角公式求出角A的余弦值，进而可得角A的正弦值，再由正弦定理可得答案．

解答：解：（Ⅰ）因为sinC-sinBcosA=0，所以sin（A+B）=cosAsinB．
所以sinAcosB+cosAsinB=cosAsinB．即sinAcosB=0．
在△ABC中，sinA≠0，所以cosB=0，得B=90°．
（Ⅱ）因为cos

A

2

=

2 5

5

，所以cosA=2cos2

A

2

-1=

3

5

．
又因为A是△ABC的内角，所以sinA=

4

5

．
所以

a

b+c

=

sinA

sinB+sinC

=

sinA

1+cosA

=

4 5

1+ 3 5

=

1

2

．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式和正弦定理的应用．属中档题．