Question

若函数f（x）=x+

a

x

定义域为（0，2]，a为实数．
（1）当a=1时，证明f（x）在（0，1]单调递减，在[1，2]单调递增；
（2）若函数y=f（x）在（0，2]上是减函数，求a的取值范围；
（3）讨论函数y=f（x）在x∈（0，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）a=1时，f（x）=x+

1

x

，用定义可以证明f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；
（2）由f（x）在（0，2]上是减函数，可任取x₁，x₂∈（0，2]，x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，即x₁x₂-a＜0，得a的取值范围；
（3）讨论函数y=f（x）在x∈（0，2]上的单调性，根据单调性求出f（x）的值域．

解答：解：（1）a=1时，f（x）=x+

1

x

，任取x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）

(x1x2-1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（0，1]上单调递减；
同理，任取x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）

(x1x2-1)

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，2]上单调递增；
（2）∵函数y=f（x）在（0，2]上是减函数，
∴任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(x1+

a

x1

)-(x2+

a

x2

)=(x1-x2)

(x1x2-a)

x1x2

＞0恒成立，
∴0＜x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0恒成立，x₁x₂-a＜0，
即a≥4；∴a的取值范围{a|a≥4}；
（3）任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(x1+

a

x1

)-(x2+

a

x2

)=(x1-x2)

(x1x2-a)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
①当a≥4时，由（2）知，y=f（x）在（0，2]上是减函数，
∴f(x)≥f(2)=2+

a

2

，即值域为[2+

a

2

，+∞)；
②当0＜a＜4时，x1，x2∈(0，

a

]，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，x1，x2∈(

a

，2]，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
得f(x)在(0，

a

]单减，在[

a

，2]单增，
∴f(x)≥f(

a

)=2

a

，即值域为[2

a

，+∞)；
③a=0时，值域为（0，2]；
④a＜0时，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
y=f（x）在（0，2]上单调递增，值域为(-∞，2+

a

2

]．

点评：本题考查了函数单调性的判定方法以及利用单调性求函数的值域问题，是易错题．