Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且

AB

•

AC

=

8

3

S△ABC（其中S_△ABC为△ABC的面积）．
（1）求sinA的值；
（2）若b=2，△ABC的面积S_△ABC=3，求a的值．

Answer 1

分析：（1 ）利用两个向量的数量积的定义和已知的等式，求出tanA=

sinA

cosA

=

3

4

，再由同角三角函数的基本关系求出sinA的值．
（2）根据b=2，△ABC的面积S_△ABC=3，求出c的值及cosA的值，再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=13，求出a的值．

解答：解：（1 ）∵

AB

•

AC

=

8

3

S△ABC，∴bccosA=

8

3

×

1

2

bcsinA，…2分
∴tanA=

sinA

cosA

=

3

4

． …3分
又sin²A+cos²A=1，A∈（0，π）∴sinA=

3

5

…6分
（2）S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2c×

3

5

=

3

5

c=3，∴c=5．  …8分
∵sinA=

3

5

，tanA=

3

4

，∴cosA=

4

5

…9分
a²=b²+c²-2bccosA=13，∴a=

13

． …12分

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦定理以及同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．