Question

设函数f（x）=lg（x+）．
（1）确定函数f （x）的定义域；
（2）判断函数f （x）的奇偶性；
（3）证明函数f （x）在其定义域上是单调增函数；
（4）求函数f（x）的反函数．

Answer 1

解：（1）要使函数有意义，则，因为，所以恒成立，所以定义域为R．
（2）=，所以函数是奇函数．
（3）设x₁＜x₂，则．令，因为函数是奇函数，所以当
则当0≤x₁＜x₂时，有，所以，即，所以，即
，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f （x）在其定义域上是单调增函数．
（4）由得，即，平方得x²+1=10^2y-2x?10^y+x²，解得，
所以原函数的反函数为．
分析：（1）利用对数函数的性质求定义域．（2）利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性．（3）利用定义法证明单调性．（4）利用求反函数的方法求反函数．
点评：本题考查对数函数的性质，奇偶性，单调性的判断和证明以及与对数函数有关的反函数的求法，按照相关性质的定义去证明即可．