Question

设数列的前项的和，

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设，，证明：.

Answer 1

（Ⅰ）a₁=2，a_n=4ⁿ－2ⁿ, n=1,2,3, …,；（Ⅱ）同解析；

解析:

(Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… , ① 

得 a₁=S₁= a₁－×4+ 所以a₁=2.

再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…

将①和②相减得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),n=2,3, …

整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n=2,3, … ,

因而数列{ a_n+2ⁿ}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,

即 : a_n+2ⁿ=4×4^n－1= 4ⁿ, n=1,2,3, …,

因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a_n=4ⁿ－2ⁿ代入①得:

 S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2)

        = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)   

 T_n= = × = ×( － )

所以, = － )

 = ×( － ) <