Question

已知函数f(x)=2

3

sin2x+2sinxcosx-

3

（1）求函数f（x）的单调递增区间
（2）求函数f（x）的对称轴方程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x-

π

3

），由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，可得 x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈z，即为函数f（x） 的对称轴方程．

解答：解：（1）函数  f(x)=2

3

sin2x+2sinxcosx-

3

=-

3

cos2x+sin2x=2sin（2x-

π

3

）．
由  2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈z．
故函数f（x）的单调递增区间为 （kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

 ），k∈z．
（2）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，可得  x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈z．
 故函数f（x） 的对称轴方程为 x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的对称性和单调性的应用，属于基础题．