Question

已知点A（-2，0），B（1，0），C（0，1），直线y=kx将△ABC分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时k的值为（　　）

• A．-

  3

  2

• B．-

  3

  4

• C．-

  4

  3

• D．-

  2

  3

Answer 1

分析：由题意作图，结合基本不等式可得当S₁=S₂时取等号，由面积公式可得AD的长度，而由方程组可表示点D的坐标，由距离公式可的方程，解之即可．

解答：解：由题意作出图象（如图），设两部分面积分别为S₁，S₂
由题意可得S₁+S₂=S_△ABC=

1

2

×AB×OC=

3

2

，
故由基本不等式可得：S₁S₂≤(

S1+S2

2

)=

9

16

，当且仅当S₁=S₂时取等号，
而当当S₁=S₂时，显然直线职能与AC相交，设交点为D，已知直线AC的方程为：y=

1

2

x+1，
则由

y= 1 2 x+1 y=kx

解得

x= 2 2k-1 y= 2k 2k-1

，即点D（

2

2k-1

，

2k

2k-1

），
而由S₁=S₂可得，2S_△AOD=S_△ABC，即2×

1

2

×AO×AD×sin∠DAO=

1

2

×AB×AC×sin∠CAB，
解得AD=

AB×AC

2AO

=

3× 5

2×2

=

3 5

4

，即(

2

2k-1

+2)2+(

2k

2k-1

)2=(

3 5

4

)2，
化简得（8k）²=（6k-3）²，解得k=-

3

2

或k=

3

14

（舍去）
故选A

点评：本题考查三角形的面积，涉及基本不等式和待定系数法求解k值，属中档题．