Question

在△ABC中，A=30°，BC=2

5

，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD的面积为4，则AC的长为

4或2

2

．

Answer 1

分析：由△BCD的面积为4，求得sin∠BCD 的值，进而求得cos∠BCD 的值，△BCD中，由余弦定理可得BD 的值，△BCD中，由正弦定理求得sinB 的值．再在△ABC中，由正弦定理求得AC的长．

解答：解：由题意可得

1

2

CB•CD•sin∠BCD=4，即

1

2

×2

5

×2 sin∠BCD=4，解得 sin∠BCD=

2

5

．
①当∠BCD 为锐角时，cos∠BCD=

1

5

．
△BCD中，由余弦定理可得 BD=

CB2+CD2-2•CB•CD•cos∠BCD

=4．
△BCD中，由正弦定理可得

BD

sin∠BCD

 =

CD

sinB

，即

4

2 5

= 

2

sinB

，故 sinB=

1

5

．
在△ABC中，由正弦定理可得

AC

sinB

= 

BC

sinA

，即 

AC

1 5

=

2 5

1 2

，解得 AC=4．
②当∠BCD 为钝角时，cos∠BCD=-

1

5

．
△BCD中，由余弦定理可得 BD=

CB2+CD2-2•CB•CD•cos∠BCD

=4

2

．

△BCD中，由正弦定理可得

BD

sin∠BCD

 =

CD

sinB

，即 

4 2

2 5

=

2

sinB

，故 sinB=

1

10

．
在△ABC中，由正弦定理可得

AC

sinB

= 

BC

sinA

，即 

AC

1 10

=

2 5

1 2

，解得 AC=2

2

．
综上可得 AC=4或2

2

，
故答案为  4或2

2

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，判断三角形的形状的方法，体现了分类讨论的数学思想，讨论∠BCD 为锐角和钝角两种情况，是解题的易错点，是一个中档题目．