Question

三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，如果此三棱锥外接球的表面积为9π，那么PA•PB+PA•PC+PB•PC的最大值为（　　）

• A、

  9

  4

• B、

  9

  2

• C、9
• D、18

Answer 1

分析：三棱锥的三条侧棱两两垂直，扩展为长方体，二者的外接球是同一个，根据球的表面积，求出球的直径，就是长方体的对角线长，设出三度，利用基本不等式求出表达式的最值．

解答：解：三棱锥的三条侧棱两两垂直，扩展为长方体，二者的外接球是同一个，因为三棱锥外接球的表面积为9π，
所以球的半径为：r=

3

2

，球的直径为：3
设长方体的三度为：a，b，c，所以a²+b²+c²=9
PA•PB+PA•PC+PB•PC=ab+bc+ac≤a²+b²+c²=9，当且仅当a=b=c时取等号．
故选C

点评：本题是基础题，考查球的内接体知识，基本不等式的应用，考查空间想象能力，计算能力，三棱锥扩展为长方体是本题的关键．