Question

【题目】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，

∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax平面ABCD，

∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，

以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°，

∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0），

D（0，2，0），

A1（0，0， ），C1（ ）．

=（ ）， =（ ）， ， ．

∵cos＜ ＞= = ．

∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为

（2）解：设平面BA1D的一个法向量为 ，

由 ，得 ，取x= ，得 ；

取平面A1AD的一个法向量为 ．

∴cos＜ ＞= = ．

∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ．

【解析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1 ， C1的坐标，进一步求出 ， ， ， 的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．
【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本，需要知道异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．