Question

【题目】解答
（1）集合M={1，2，（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i}，N={3，﹣1}，M∩N={3}，求实数m的值．
（2）已知12= ×1×2×3，12+22= ×2×3×5，12+22+32= ×3×4×7，12+22+32+42= ×4×5×9，由此猜想12+22+…+n2（n∈N*）的表达式并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由M={1，2，（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i}，N={3，﹣1}，

且M∩N={3}，

得（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i=3，

所以，m2﹣3m﹣1=3且m2﹣5m﹣6=0，

解得m=﹣1；

（2）解：归纳猜想，得12+22+…+n2= （n∈N*）；

证明：（1）当n=1时，12= ×1×2×3，猜想成立；

2）假设n=k（k≥1，且k∈N*）时，猜想成立，

即12+22+…+k2= ，

那么当n=k+1时，

12+22+…+k2= +（k+1）2

=

= ，（k∈N*），

所以，当n=k+1时，猜想成立；

由（1）（2）可知，对任意的正整数n，猜想都成立

【解析】（1）根据交集的定义列出方程组，解方程组求出m的值；（2）归纳法猜想得出12+22+…+n2= （n∈N*），再用数学归纳法证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的交集运算的相关知识，掌握交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立，以及对数学归纳法的定义的理解，了解数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．