Question

已知f（x）=sinx•cosx+sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）的图象关于直线x=x₀对称，且-1＜x₀＜0，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用二倍角公式化简函数的表达式，利用周期公式求解周期，函数的单调增区间求出函数的单调增区间即可．
（2）若f（x）的图象关于直线x=x₀对称，求出关于x₀的关系式，结合k的范围，求出x₀的值．

解答：解：f（x）=sinx•cosx+sin²x=

1

2

sin2x+

1

2

(1-cos2x)=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

（1）∴最小正周期为T=

2π

2

=π，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

 k∈Z，
得x∈[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]   k∈Z，
∴f（x）的单调增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]   k∈Z．
（2）由题意：2x0-

π

4

=kπ+

π

2

，得x0=

1

2

kπ+

3π

8

   k∈Z，
∵-1＜x₀＜0，即-1＜ 

1

2

kπ+

3π

8

＜0    k∈Z，
当k=-1时，x0=-

π

8

．

点评：本题考查三角函数的二倍角公式两角和与差的三角函数的应用，考查函数的基本性质，考查计算能力．