Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x：
（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；
（2）当x∈[

π

2

，π]时，求函数f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得函数的周期以及单调增区间．
（2）根据（1）的函数的解析式，利用x的范围进而确定2x+

π

6

的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π，
-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，故函数的值域为[-

1

2

，

3

2

]
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

2π

3

≤x≤kπ+

π

6

，函数单调增，
故函数的单调增区间为[kπ-

2π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵x∈[

π

2

，π]
∴2x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]
∴当2x+

π

6

=

3π

2

时函数的最小值为-

1

2

，
当2x+

π

6

=

13π

6

时函数的最大值为

1

2

+

1

2

=1

点评：本题主要考查了正弦函数的定义域和值域，两角和公式和二倍角公式的化简求值，正弦函数的单调性等．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．