题目内容

已知数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n．若 $数学公式$ 且S₃=29，则a₁=________；S_3n=________．

5 7n+22
分析：通过对a₁分4k，4k+1，4k+2，4k+3（k∈N^*）讨论，及与已知条件，结合S₃=29，即可求出a₁；通过求出a₁，a₂，…，a₉，知道：从a₄开始数列{a_n}是一个周期为3的数列，进而即可得到S_3n．
解答：（1）①若 $\text{[math]}$ ，则a₂=2k，a₃=k，∴S₃=a₁+a₂+a₃=7k=29， $\text{[math]}$ 不是整数，舍去；
②若a₁=4k+1，则a₂=3（4k+1）+1=12k+4，a₃=6k+2，∴S₃=a₁+a₂+a₃=22k+7=29，解得k=1，∴a₁=5．
③若a₁=4k+2，则 $\text{[math]}$ ，a₃=3a₂+1=3（2k+1）+1=6k+4，则S₃=a₁+a₂+a₃=12k+7=29，解得k= $\text{[math]}$ ，应舍去；
④若a₁=4k+3，则a₂=3（4k+3）+1=12k+10， $\text{[math]}$ ，则S₃=a₁+a₂+a₃=22k+18=29，解得k= $\text{[math]}$ 不是整数，舍去．
综上可得：a₁=5
（2）∵a₁=5，a₂=16，a₃=8，∴a₄=4，a₅=2，a₆=1，a₇=4，a₈=2，a₉=1…．
可以看到：从a₄开始数列{a_n}是一个周期为3的数列，即a_n+3=a_n，（n≥4）．
因此，当n≥2时，S_3n=29+7（n-1）=7n+22，当n=1时，上式也成立，故S_3n=7n+22．
点评：数列掌握分类讨论的思想方法和数列的周期性是解题的关键．