Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥O―ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，  OA = 2，M为OA的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到面OCD的距离。

 

Answer 1

本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、异面直线所成角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。

解：方法一（综合法）

（Ⅰ）∵CD∥AB，

∴∠MDC为异面直线AB与MD所成角（或其补角）

作AP⊥CD于点P，连接MP

∵OA⊥底面ABCD，∴CD⊥MP。

∵， ∴

∵

∴

∴AB与MD所成角的大小为。

（Ⅱ）∵AB∥平面OCD，∴点B和点A到平面OCD的距离相等

连接OP，过点A作AQ⊥OP与点Q，

∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP

∵平面OAP，∴，

又∵，∴平面O CD，线段的长就是点A到平面OCD的距离。

∵，

∴，∴点B到面OCD的距离为。

方法二（向量法）：

作AP⊥CD与点P。如图，分别以AB，AP，AO所在直线为

轴建立直角坐标系。

（Ⅰ）设AB与MD所成角为，

∵，，

∴，∴，∴AB与MD所成角的大小为。

（Ⅱ）

设平面OCD的法向量为，则，

得，取，解得。

设点B到面OCD的距离为，则为在向量上的投影的绝对值。

∵，∴

∴点B到面OCD的距离为。