Question

已知直线l过点（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当△AOB的面积最小时，直线l的方程．

Answer 1

分析：设l的斜率为k给出直线的点斜式方程，用参数k表示出下线与两坐标轴的交点，表示出△AOB面积，判断其最小值，求出此时的k值，代入即得直线的方程．

解答：解　如图所示，设直线l的斜率为k，则其方程为y-2=k（x-3）．
当x=0时，y=-3k+2；令y=0得x=-

2

k

+3．
∴S_△AOB=

1

2

（-3k+2）（-

2

k

+3）=

1

2

[12+（-9k-

4

k

）]
∵直线l与x轴和y轴的正半轴分别相交，
∴k＜0，∴S_△AOB=

1

2

[12+（-9k-

4

k

）]≥

1

2

[12+2

-9k• -4 k

]=12，
当且仅当-9k=-

4

k

，即k=-

2

3

时取等号，即S_△AOB有最小值12．
因此所求直线l的方程为2x+3y-12=0．

点评：本题考查直线的一般式方程，考查用待定系数法设出直线的方程，根据已知的条件建立等式求参数，本题在判断面积的最小值时由于出现了积国定值的形式，故采用了基本不等式求最小值时参数的取值，注意总结这一规律．