Question

（2012•蓝山县模拟）已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx，（ω＞0，a＞0，b＞0）周期为π，f(

π

4

)=

3

，f（x）最大值为2
（1）写出f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的单增区间．

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，由周期求出ω，由函数的最大值为

a2+b2

=2，以及 f(

π

4

)=

3

=a，求得a、b的值，即可得到函数的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．再由x∈[-

π

2

，

π

2

]，进一步确定函数的增区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+∅），其中tan∅=

b

a

，
由周期等于π可得

2π

ω

=π，由此求得ω=2．
再由最大值为

a2+b2

=2，以及 f(

π

4

)=

3

=a，解得

a= 3 b=1

，
∴函数f（x）=asinωx+bcosωx=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得  kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．
故在区间[-

π

2

，

π

2

]上的单增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，辅助角公式的应用，求复合三角函数的周期性和增区间，属于中档题．