Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F(x)=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（1）若不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-3或x＞1}，求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

Answer 1

分析：（1）先由已知不等式ax²+bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1}，故a＞0，且方程ax²+bx-3=0的两根结合韦达定理，得a，b的值即可写出F（x）的表达式；
（2）由于g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=(x+

2-k

2

)2+1-

(2-k)2

4

，利用二次函数的图象与性质得出实数k的取值范围即可；
（3）根据f（x）是偶函数得到：F(x)=

ax2+1(x＞0) -ax2-1(x＜0)

，再结合题中条件：m•n＜0，设m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，计算出|m|＞0，从而F（m）+F（n）能大于零．

解答：解：（1）由已知不等式ax²+bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1}，故a＞0，且方程ax²+bx-3=0的两根为-3，1，由韦达定理，得

a＞0 - b a =-2 - 3 a =-3.

解得a=1，b=2．因此，F(x)=

(x+1)2(x＞0) -(x+1)2(x＜0)

（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=(x+

2-k

2

)2+1-

(2-k)2

4

，
当

k-2

2

≥1或

k-2

2

≤-1时，即k≥4或k≤0时，g（x）是单调函数．
（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax²+1，F(x)=

ax2+1(x＞0) -ax2-1(x＜0)

，
∵m•n＜0，设m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-an²-1=a（m²-n²）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．