Question

已知函数f(x)=2cos2(x-

π

6

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式，化简为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式求函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的对称轴方程求出函数的图象的对称轴方程；
（2）通过x∈[-

π

12

，

π

2

]，求出2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，利用函数的单调性求出函数在[-

π

12

，

π

2

]上的值域，即可．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2(x-

π

6

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)-1
=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin(2x-

π

2

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)…（5分）
∴周期 T=

2π

2

=π．由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，得 x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）
∴函数图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）…（7分）
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
又∵f（x）=sin(2x-

π

6

)在区间[-

π

12

，

π

3

]上单调递增，
在区间[

π

3

，

π

2

]上单调递减，∴当x=

π

3

时，f（x）取最大值1．
又∵f(-

π

12

)=-

3

2

＜f(

π

2

)=1，∴当x=-

π

12

时，f（x）取最小值-

3

2

．
∴函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域为[-

3

2

，1]．…（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，以及函数的闭区间上的最值的应用，考查计算能力，高考常考题型．