Question

已知函数f（x）=e^2x﹣1﹣2x．

（I）求函数f（x）的单调区间；

（II）设b∈R，求函数f（x）在区间[b，b+1]上的最小值．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；

（II）分类讨论，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）在区间[b，b+1]上的最小值．

解答：

解：（I）因为f′（x）=2e^2x﹣1﹣2．（2分）

令f′（x）=0，解得．（3分）

当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x
f′（x）	﹣	0	+
f（x）		极小值

（5分）

所以函数f（x）在（）上单调递减，在上单调递增．（6分）

（II）当时，

因为函数f（x）在（b，b+1）上单调递减，

所以当x=b+1时，函数f（x）有最小值f（b+1）=e^2b+1﹣2b﹣2．（8分）

当时，

因为函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数f（x）有最小值．（10分）

当时，

因为函数f（x）在（b，b+1）上单调递增，

所以当x=b时，函数f（x）有最小值f（b）=e^2b﹣1﹣2b．（12分）

综上，当时，函数f（x）在[b，b+1]上的最小值为f（b+1）=e^2b+1﹣2b﹣2；

当时，函数f（x）在[b，b+1]上的最小值为；

当时，函数f（x）在[b，b+1]上的最小值为f（b）=e^2b﹣1﹣2b．（13分）

点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．