题目内容
在△ABC中，∠A=60°，M是AB的中点，若|AB|=2，|BC|=2
，D在线段AC上运动，则下面结论正确的是
①△ABC是直角三角形；
②
•
的最小值为
；
③
•
的最大值为2；
④存在λ∈[0，1]使得
=λ
+（1-λ）
．
| 3 |
①②④
①②④
．①△ABC是直角三角形；
②
| DB |
| DM |
| 23 |
| 16 |
③
| DB |
| DM |
④存在λ∈[0，1]使得
| BD |
| BA |
| BC |
分析：①根据余弦定理②③④
解答：解：①设|AC|=x，则由余弦定理得（2
）=22+x2-2×2xcos60°，
即12=4+x2-2x，
∴x2-2x-8=0，解得x=4或x=-2（舍去），
∴|AC|=4，∴∠B=90°，即①△ABC是直角三角形，∴①正确．
②将直角三角形ABC放入坐标系中，
则B（0，0），A（0，2），M（0，1），C（2
，0），
则
=(2
，-2)，
设
=m
=(2
m，-2m)，0≤m≤1，设D（x，y），
则（x，y-2）=（2
m，-2m），
解得x=2
m，y=2-2m，
即D（2
m，2-2m）．
则
=(-2
m，2m-2)，
=(-2
m，2m-1)，
∴
•
=（-2
m）2+（2m-2）（2m-1）=16m2-6m+2=16（m-
） 2+
，
∴当m=
时，
•
的最小值为
，∴②正确．
③由②知
•
=）=16m2-6m+2=16（m-
） 2+
，
∵0≤m≤1，∴当m=1时，
•
的最大值为16-6+2=12，∴③错误．
④
∵
=(2
m，2-2m)，
=（0，2），
=（2
，0），
若
=λ
+（1-λ）
．
则（2
m，2-2m）=λ（0，2）+（1-λ）（2
，0），
即
，
解得
，此时λ=1-m，
∵0≤m≤1，
∴0≤λ≤1，
即存在λ∈[0，1]使得
=λ
+（1-λ）
．
∴④正确．
故答案为：①②④
| 3 |
即12=4+x2-2x，
∴x2-2x-8=0，解得x=4或x=-2（舍去），
∴|AC|=4，∴∠B=90°，即①△ABC是直角三角形，∴①正确．
②将直角三角形ABC放入坐标系中，
则B（0，0），A（0，2），M（0，1），C（2
| 3 |
则
| AC |
| 3 |
设
| AD |
| AC |
| 3 |
则（x，y-2）=（2
| 3 |
解得x=2
| 3 |
即D（2
| 3 |
则
| DB |
| 3 |
| DM |
| 3 |
∴
| DB |
| DM |
| 3 |
| 3 |
| 16 |
| 23 |
| 16 |
∴当m=
| 3 |
| 16 |
| DB |
| DM |
| 23 |
| 16 |
③由②知
| DB |
| DM |
| 3 |
| 16 |
| 23 |
| 16 |
∵0≤m≤1，∴当m=1时，
| DB |
| DM |
④
∵| BD |
| 3 |
| BA |
| BC |
| 3 |
若
| BD |
| BA |
| BC |
则（2
| 3 |
| 3 |
即
|
解得
|
∵0≤m≤1，
∴0≤λ≤1，
即存在λ∈[0，1]使得
| BD |
| BA |
| BC |
∴④正确．
故答案为：①②④
点评：本题主要考查余弦定理的应用，以及数量积的应用，根据条件将三角形放入平面直角坐标系中，利用坐标法进行求解是解决本题的关键．
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