Question

如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若

AE

=m

AB

，

AF

=n

AC

，m，n∈（0，1）．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证m=n；
（2）若m+n=1，求|

MN

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量共线的充要条件得到

AM

=λ

AN

(λ∈R)，据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应向量和的一半，将已知条件代入得到要证的结论．
（2）利用向量的运算法则：三角形法则将

MN

用三角形的边对应的向量表示，利用向量模的平方等于向量的平方，将|

MN

|2表示成m的二次函数，求出二次函数的最值．

解答：解：（1）由A，M，N三点共线，得

AM

∥

AN

，
设

AM

=λ

AN

(λ∈R)，
即

1

2

(

AE

+

AF

)=

1

2

λ(

AB

+

AC

)，
所以m

AB

+n

AC

=λ(

AB

+

AC

)，
所以m=n．
（2）因为

MN

=

AN

-

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)-

1

2

(

AE

+

AF

)=

1

2

(1-m)

AB

+

1

2

(1-n)

AC

，
又m+n=1，
所以

MN

=

1

2

(1-m)

AB

+

1

2

m

AC

，
所以|

MN

|2=

1

4

(1-m)2

AB

2+

1

4

m2

AC

2+

1

2

(1-m)m

AB

•

AC

=

1

4

(1-m)2+

1

4

m2+

1

4

(1-m)m=

1

4

(m-

1

2

)2+

3

16

故当m=

1

2

时，|

MN

|min=

3

4

．

点评：本题考查向量共线的充要条件；三角形的中线对应向量等于相邻两边对应向量和的一半；考查向量的运算法则：三角形法则；向量模的平方等于向量的平方；二次函数最值的求法．