Question

已知双曲线S的中心是原点O，离心率为

5

，抛物线y²=2

5

x的焦点是双曲线S的一个焦点，直线l：y=kx+1与双曲线S交于A、B两个不同点．
（I）求双曲线S的方程；
（II）当

OA

⊥

OB

时，求实数k的值．

Answer 1

（I）由题意设双曲线S的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)且c为它的半焦距，
根据已知得c=

5

2

，

c

a

=

5

∴a=

1

2

∵b²=c²-a²=1，∴b=1
所以双曲线S的方程为4x²-y²=1．
（II）由题意得

y=kx+1 4x2-y2=1

消去y得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0
当△＞0且4-k⁴≠0即4k²+8（4-k²）＞0且k≠±2时，
l与双曲线S有两个不同交点A，B
∴-2

2

＜ k＜2

2

且k≠±2
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
∴

-2

4-k2

 +k2•

-2

4-k2

+k•

2k

4-k2

+1=0
化简得k²=2
所以k=±

2

经检验k=±

2

符合条件．
所以当

OA

⊥

OB

时，实数k的值为±

2

．