Question

22.

 

如图,△OBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P₁为线段BC的中点,P₂为线段CO的中点,P₃为线段OP₁的中点,对于每一个正整数n,P_n+3为线段P_nP_n+1的中点,令P_n的坐标为（x_n,y_n）,a_n=y_n+y_n+1+y_n+2.

（Ⅰ）求a₁,a₂,a₃及a_n;

（Ⅱ）证明:y_n+4=1－,n∈N^*；

（Ⅲ）若记b_n=y_4n+4－y_4n,n∈N^*，证明:{b_n}是等比数列.

Answer 1

22.本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查知识的综合运用和解决问题的创新能力.

解：（Ⅰ）因为y₁=y₂=y₄=1,y₃=,y₅=,

所以a₁=a₂=a₃=2.

又由题意可知y_n+3=.

∴a_n+1=y_n+1+y_n+2+y_n+3

=y_n+1+y_n+2+

=y_n+y_n+1+y_n+2=a_n，

∴{a_n}为常数列.

∴a_n=a₁=2,n∈N^*.

 

（Ⅱ）将等式y_n+y_n+1+y_n+2=2两边除以2,得

y_n+=1,

又∵y_n+4=,

∴y_n+4=1－.

（Ⅲ）∵b_n+1=y_4n+8－y_4n+4=（1－）－（1－）

=－（y_4n+4－y_4n）

=－b_n,

又∵b₁=y₈－y₄=－≠0,

∴{b_n}是公比为－的等比数列.