Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得函数f（x）在区间M上值域也为M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”
①若区间[1，b]是函数g（x）=

1

2

x²-x+

3

2

的一个“稳定区间”，求常数b的值；
②问是否存在常数a，b（b＞a＞0），使区间[a，b]是函数h（x）=1nx的一个“稳定区间”？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：①利用定义，对函数g（x）配方，利用[1，g（b）]=[1，b]，即可求常数b的值；
②通过构造函数F（x）=lnx-x，函数的导数，求出函数的单调区间，说明方程在（0，+∞）上无实数根，
然后说明不存在在条件的a，b即可．

解答：解：①由g(x)=

1

2

(x-1)2+1
知g（x）在[1，b]，且g（1）=1．
∴[1，g（b）]=[1，b]
⇒g（b）=b⇒b=3
②∵函数h（x）=1nx在（0，+∞）上是增函数，
∴a=lna，b=lnb是关于x的方程x=lnx在（0，+∞）上有两个不相等的根．
设F（x）=lnx-x，则F′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
由F′（x）=0得，x=1，
∴F（x）=lnx-x，z在（0，1）为增函数，在（1，+∞）是减函数，
又F（1）=-1＜0，方程x=lnx在（0，+∞）上无实数根，
∴不存在常数a，b（b＞a＞0），满足条件．

点评：本题考查新定义的理解，函数的导数以及函数的零点问题，考查分析问题解决问题的能力．