Question

已知函数，，

（1）若函数的两个极值点为，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，求函数的图象过点的切线方程；

（3）对一切恒成立，求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）  （2）x+y-2=0   （3）  a≥-2

【解析】函数的两个极值点处导数为0 ，g’(x)=3x²+2ax-1带入即可；

要求函数的图象过点的切线方程，先求函数在点处的导数即斜率，在用点斜式求出方程；恒成立求实数的取值范围时，一般分离参数，2a≥2lnx-3x-再在最值处成立即可。

解：（1）g’(x)=3x²+2ax-1由题意：

（2）由（1）可得：g(x)=x³-x²-x+2（1^o）若P为切点，则切线方程为：y=1

2 ^o若P不是切点，设切点Q（x₀，y₀）∴切线方程为y-y₀=(3x₀²-2x₀-1)(x-x₀)

1-(x₀³-x₀²-x₀+2)=(3x₀²-2x₀-1)(1-x₀)    2x₀(x₀-1)²=0    ∴x₀=0   ∴切点（0，2）

∴切线方程：x+y-2=0

（3）2xlnx≤3x²+2ax-1+2    ∴2ax≥2xlnx-3x²-1     ∵x>0   ∴2a≥2lnx-3x-

令ln(x)=2lnx-3x-   

x       （0，1）    1       （1，+∞）

h’(x)      +       0       -

h(x)        ↑      极大值      ↓

∴h(x) ≤h(1)=-4    ∴2a≥-4    a≥-2