Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,

求证:对于任意的正实数,都有；

（3）若方程为实数）有两个正实数根且,求证: .

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间是 ,单调递减区间是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（2）设出点的坐标，利用导数求出切线方程，构造辅助函数，利用导数得到对于任意实数，有，即对任意实数，都有；（3）由（2）知， ，求出方程的根， ，由在单调递减，得到，同理得到，根据不等式性质则可证得.

试题解析：（1）由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

（2）设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则.

由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时, ,所以当时, ,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.

（3）由（2）知 ,设方程 的根为 ,可得,因为在 单调递减,又由（II）知 ,所以 .类似的,设曲线 在原点处的切线为 可得 ,对任意的,有 即 .设方程 的根为 ,可得 ,因为 在 单调递增,且 ,因此, 所以 .