题目内容
将圆x2+y2=4压扁得到椭圆C，方法是将该圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的
倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F1，右焦点F2，直线l过点F1且垂直于椭圆的长轴，点P为直线l上的动点，过点P且垂直于l的动直线l1与线段PF2垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C′的方程；
（3）是否存在过点（0，-2）的直线l2与椭圆C相交于A、B两点，使以AB为直径的圆过点O（O是坐标原点），若存在，求直线l2的方程；若不存在，说明理由．
| ||
| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F1，右焦点F2，直线l过点F1且垂直于椭圆的长轴，点P为直线l上的动点，过点P且垂直于l的动直线l1与线段PF2垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C′的方程；
（3）是否存在过点（0，-2）的直线l2与椭圆C相交于A、B两点，使以AB为直径的圆过点O（O是坐标原点），若存在，求直线l2的方程；若不存在，说明理由．
（1）设所求椭圆上的任意点的坐标为（x，y），圆上的对应点为（x′，y′），
依题意得
∴
，x/2+y/2=4，
∴x2+
=4，∴
+
=1
（2）依题意|MP|=|MF2|，F2（1，0），l：x=-1，M(x，y)，
=|x+1|，
化简得点M的轨迹方程为y2=4x
（3）假设存在直线l2满足条件，显然直线l2的斜率存在，设其方程为y=kx-2，设A（x1，y1），B（x2，y2）
依题意得OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∵y1=kx1-2，y2=kx2-2，（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0
由方程组得
得（3+4k2）x2-16kx+4=0，则x1+x2=
，x1x2=
∴
-2k×
+4=0，整理得k2=
，k=±
，
又△＞0，∴k2＞
，∴k=±
符合题意．
所以存在直线l2方程为y=±
x-2
依题意得
|
|
∴x2+
| 4y2 |
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）依题意|MP|=|MF2|，F2（1，0），l：x=-1，M(x，y)，
| (x-1)2+y2 |
化简得点M的轨迹方程为y2=4x
（3）假设存在直线l2满足条件，显然直线l2的斜率存在，设其方程为y=kx-2，设A（x1，y1），B（x2，y2）
依题意得OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∵y1=kx1-2，y2=kx2-2，（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0
由方程组得
|
| 16k |
| 3+4k2 |
| 4 |
| 3+4k2 |
∴
| 4(1+k2) |
| 3+4k2 |
| 16k |
| 3+4k2 |
| 4 |
| 3 |
2
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| 3 |
又△＞0，∴k2＞
| 1 |
| 4 |
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所以存在直线l2方程为y=±
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练习册系列答案
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倍．
（O是坐标原点），求直线l2的方程．