Question

设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)＝x²＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

(1)求实数b的取值范围

(2)求圆C的方程

(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

本小题考查二次函数图像于性质、圆的方程的求法． 　　(1)令x＝0，得抛物线于y轴的交点是(0，b) 　　令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0 　　(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 　　令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b 　　令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1 　　所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0 　　(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1) 　　证明如下：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0 　　所以圆C必过定点(0，1)； 　　同理可证圆C必过定点(－2，1)．