题目内容
7．已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=ac，a+c=$\sqrt{21}$，$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{5}{4}$．（1）求cosB；
（2）求△ABC的面积．
分析 （1）通过cosB求出sinB，利用正弦定理得到sin2B=sinAsinC．通过切化弦，两角和的正弦函数化简，可得sinB，利用sinB即可求cosB；
（2）利用余弦定理，结合条件求出ac，即可求△ABC的面积．
解答 解：（1）∵b2=ac，
∴根据正弦定理可得sin2B=sinAsinC．
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{5}{4}$，
∴sinB=$\frac{4}{5}$，
∴cosB=$\frac{3}{5}$；
（2）b2=ac=a2+c2-2ac×$\frac{3}{5}$，
∴a2+c2=$\frac{11}{5}$ac，
∵a+c=$\sqrt{21}$，
∴ac=5
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}$=2．
点评 本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和与正弦定理的应用，考查三角形面积的计算，考查计算能力，转化思想的应用．
练习册系列答案
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17．
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如图，网格纸中的小正方形的边长为1，图中组线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）| A． | $\frac{1}{2}$（$\sqrt{22}+3\sqrt{2}+4$） | B． | $\frac{1}{2}$（$\sqrt{22}+3\sqrt{2}+8$） | C． | $\frac{1}{2}$（$\sqrt{22}+\sqrt{2}+8$） | D． | $\frac{1}{2}$（$\sqrt{22}+2\sqrt{2}+8$） |