Question

已知锐角α，β满足：sinβ=2cos(α+β)sinα，记y=tanβ，x=tanα，

    (Ⅰ)求y关于x的函数解析式y=f(x)及定义域；

    (Ⅱ)求(Ⅰ)中函数y=f(x)的最大值及此时α，β的值.

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)∵sinβ=2cos(α+β)sinα，

∴sin[(α+β)-α]=2cos(α+β)sinα，

即sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα  ①

∵α，β都是锐角，

∴0＜α+β＜π，sinβ＞sinα＞0，

∴由sinβ=2cos(α+β)sinα知cos(α+β)＞0

∴由①式，得tan(α+β)=3tanα，

即=3tanα，即=3x

∴y=(x＞0)，

即所求函数的解析式为y=f(x)=，其定义域为(0，+∞)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，y==，

当且仅当3x=，即x=时，等号成立，此时

tanα=，tanβ=，

∴α=，β=，

即函数y=f(x)的最大值为，此时，α=β=.