Question

一边长为48cm的正方形铁片，在铁片的四角各截去边长为xcm的小正方形（截去的四个小正方形全等），然后制作一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积V表示为x的函数；
（2）求方盒的容积V的最大值，并求出取到最大值时x的值．

Answer 1

分析：（1）由题设知这个无盖方盒的底面是边长为48-2x的正方形，高为x的正四棱柱，由此能把方盒的容积V表示为x的函数．
（2）由（1）知V=（48-2x）²x，0＜x＜24，故V′=（48-2x）²-4（48-2x）x，令V′=0，得x₁=8，x₂=24（舍）．由此进行列表讨论，能求出这个方盒容积的最大值和取到最大值时x的值．

解答：解：（1）∵一边长为48cm的正方形铁片，
在铁片的四角各截去边长为xcm的小正方形（截去的四个小正方形全等），
然后制作一个无盖方盒，
∴这个无盖方盒的底面是边长为48-2x的正方形，高为x的正四棱柱，
∴方盒的容积V=（48-2x）²x，0＜x＜24．
（2）∵V=（48-2x）²x，0＜x＜24，
∴V′=2（48-2x）•（-2）x+（48-2x）²
=（48-2x）²-4（48-2x）x，
令V′=0，得x₁=8，x₂=24（舍）．
列表，讨论

x	（0，8）	8	（8，24）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

∴当x=8时，方盒的容积V的取极大值V（8）=（48-2×8）²×8=8192（cm³），
∵方盒容积只有这唯一的一个极大值，∴这个极大值就是方盒容积的最大值．
故这个方盒容积的最大值是8192cm³，取到最大值时x的值为8cm．

点评：本题考查方盒容积的求法，考查利用导数求方盒容积的最大值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．