Question

根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备,有以下3种方案:

方案一:运走设备,搬运费为3 800元.

方案二:建保护围墙,建设费为2 000元.但围墙只能防小洪水.

方案三:不采取措施,希望不发生洪水.

试比较哪一种方案好?

Answer 1

分析本题考查离散型随机变量的分布列,准确把握随机变量的取值是解题的关键.

解 用x₁、x₂和x₃分别表示三种方案的损失.

采用第一种方案,无论有无洪水,都损失3 800元,即x₁=3 800.

采用第二种方案,遇到大洪水时,损失2 000+60 000=62 000元;没有大洪水时,损失2 000元,即

同样,采用第三种方案,有

于是,

Ex₁=3 800,

Ex₂=62 000×P(x₂=62 000)+2 000×P(x₂=2 000)=62 000×0.01+2 000×(1-0.01)=2 600,

Ex₃=60 000×P(x₃=60 000)+10 000×P(x₃=10 000)+0×P(x₃=0)=60 000×0.01+10 000×0.25=3 100.

采用方案二的平均损失最小,所以可以选择方案二.

点评：值得注意的是,上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地,我们可以这样来理解 “平均损失”:假设问题中的气象情况多次发生,那么采用方案二将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案二也不一定是最好的.