Question

13．M是抛物线y²=4x上一点，F是抛物线y²=4x的交点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM=60°，则△MOF的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设M（m，n），过点M作MA垂直于x轴，垂足为A，可得|MF|=2|FA|=2（m-1）且|MF|=$\frac{2|n|}{\sqrt{3}}$，结合抛物线的方程联解可得m=3，最后结合由抛物线的定义，可得到|FM|的长为4，再由三角形的面积公式计算即可得到．

解答 解：由题意，得F（1，0），
设M（m，n），过点M作MA垂直于x轴，垂足为A，
∵Rt△AFM中，∠AFM=60°，
∴|MF|=2|FA|即|FM|=2（m-1），|MF|=$\frac{2|MA|}{\sqrt{3}}$，
∵|MA|=|n|，∴即|MF|=$\frac{2|n|}{\sqrt{3}}$，
所以2（m-1）=$\frac{2|n|}{\sqrt{3}}$，整理得n²=3（m-1）²…①
又∵M是抛物线y²=4x上一点，∴n²=4m…②
联解①②，得m=3或m=$\frac{1}{3}$（小于1舍去）
∴|FM|=2（m-1）=4，
则S_△MOF=$\frac{1}{2}$×1×4×sin120°=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题给出抛物线上的点M满足∠xFM=60°，求△MOF的面积，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．