Question

已知函数f(x)＝e^x－kx²，x∈R.
(1)若k＝，求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>1；
(2)若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，试求k的取值范围；
(3)求证：<e⁴(n∈N^*)．．

Answer 1

（1）见解析（2）（3）见解析

(1)证明　f(x)＝e^x－x²，则h(x)＝f′(x)＝e^x－x，
∴h′(x)＝e^x－1>0(x>0)，∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)>f′(0)＝1>0.∴f(x)＝e^x－x²在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)>f(0)＝1.
(2)解　f′(x)＝e^x－2kx，求使f′(x)>0(x>0)恒成立的k的取值范围．
若k≤0，显然f′(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，当k>0时，记φ(x)＝e^x－2kx，则φ′(x)＝e^x－2k，当0<k<时，∵e^x>e⁰＝1，而2k<1，∴φ′(x)>0，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，于是f′(x)＝φ(x)>φ(0)＝1>0，∴f(x)在(0，＋∞)单调递增；当k≥时，φ(x)＝e^x－2kx在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，＋∞)上单调递增，于是f′(x)＝φ(x)＝φ(ln 2k)＝e^{ln 2k}－2kln 2k，由e^{ln 2k}－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，则≤k≤.综上，k的取值范围是.
(3)证明　由(1)知，对于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝e^x－x²>1，∴e^2x>2x²＋1，则ln (2x²＋1)<2x，
从而有ln < (n∈N^*)，
于是ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln <＋＋…＋<＋＋＋…＋＝2＋＝4－<4，故··…·<e⁴(n∈N^*)