Question

已知函数f（x）=

lnx+a

x

(a∈R)．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln(n+1)≤1+

1

2

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各段内的符号分析原函数的单调性，从而得到极值点，把极值点的横坐标代入原函数求得极值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知极值点的横坐标为e^1-a，分e^1-a小于e²和大于等于e²求函数在（0，e²]上的最大值，把函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点转化为最大值大于等于1求解a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）中，由函数的极大值等于1，取a=1得到

lnx+1

x

≤1(x＞0)，即lnx≤x-1，然后依次取x等于1+

1

n

，1+

1

n-1

，…，1+

1

1

，把得到的不等式作和即可得到要证的结论．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），由f（x）=

lnx+a

x

(a∈R)，
得f′（x）=

1-(lnx+a)

x2

，令f′（x）=0，得x=e^1-a，
当x∈（0，e^1-a）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
当x∈（e^1-a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
∴f（x）在x=e^1-a处取得极大值，f(x)极大值=f(e1-a)=e^a-1，无极小值．
（Ⅱ）①当e^1-a＜e²时，即a＞-1时，
由（Ⅰ）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，e²]上是减函数，∴f(x)max=f(e1-a)=ea-1，
又当x=e^-a时，f（x）=0，当x∈（0，e^-a]时，f（x）＜0．
当x∈（e^-a，e²]时，f（x）∈（0，e^a-1）．
∴f（x）的图象与g（x）=1的图象在（0，e²]上有公共点等价于e^a-1≥1．
解得a≥1，又a＞-1，所以a≥1．
②当e^1-a≥e²，即a≤-1时，f（x）在（0，e²]上是增函数，
∴f（x）在（0，e²]上的最大值为f（e²）=

2+a

e2

，
∴f（x）的图象与g（x）=1的图象在（0，e²]上有公共点等价于

2+a

e2

≥1，
解得a≥e²-2，
又∵a≤-1，∴无解．
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）；
（Ⅲ）证明：令a=1，由（Ⅰ）知，

lnx+1

x

≤1(x＞0)，
∴lnx≤x-1，
∴ln(1+

1

n

)≤

1

n

，ln(1+

1

n-1

)≤

1

n-1

，…，ln

2

1

≤1．
相加得：ln(n+1)=ln

n+1

n

+ln

n

n-1

+…+ln

2

1

≤1+

1

2

+…+

1

n

．

点评：本题考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，对于（Ⅲ）的证明，由（Ⅰ）得到不等式lnx≤x-1是关键，考查了学生的计算能力，是综合性较强的题目，属难题．