Question

已知：a为实数，函数f(x)=a(sinx+cosx)-sinxcosx，xR.

(Ⅰ)设t=sinx+cosx，求t的取值范围；

(Ⅱ)当f(x)的最大值是3时，求a的值.

Answer 1

解：t=sinx+cosx=sin(x+)t的取值范围是t[,]sinxcosx=

f(x)=a(sinx+cosx)-sinxcosx=(t-a)²+(a²+1)令g(t)=(t-a)²+(a²+1)

(1)α＜时g(t)的最大值为g()=a

依题意a=3,∴a=(满足a＜)

(2)≤a≤时g(t)的最大值为g(a)=(a²+1)

依题意(a²+1)=3,所以,a=±,不满足题意.

(3)＜a时,g(t)的最大值为g()=a依题意a=3,∴a=,满足＜a.

由以上知:∴a=±.