Question

已知直线x-y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点，
（1）求椭圆S的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，
①若直线PA平分线段MN，求k的值；
②对任意k＞0，求证：PA⊥PB。

Answer 1

解：（1）在直线x-y+1=0中，
令x=0得y=1；令y=0得x=-1，
∴c=b=1，
∴，
则椭圆方程为；
 （2）①，
M、N的中点坐标为，
所以；
②将直线PA方程y=kx代入，
解得，
记，
则，
于是C（m，0），
故直线AB方程为，
代入椭圆方程得，
由，
∴，
∴，
∴PA⊥PB。