题目内容
已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+
）2•an．
（1）求证数列{
}是等比数列，并求其通项公式；
（2）设b n=
，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设Cn=
，求证：c1+c2+c3+…+cn＜
．
| 1 |
| n |
（1）求证数列{
| an |
| n2 |
（2）设b n=
| an |
| n |
（3）设Cn=
| n |
| an |
| 7 |
| 10 |
分析：（1）利用an+1=2（1+
）2•an，可得
=2•
，从而可得{
}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可并求其通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证得结论．
| 1 |
| n |
| an+1 |
| (n+1)2 |
| an |
| n2 |
| an |
| n2 |
（2）利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证得结论．
解答：（1）解：∵an+1=2（1+
）2•an，
∴
=2•
∵a1=2，∴{
}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴
=2n
∴an=n2•2n；
（2）解： bn=
=n•2n
∴Sn=1•21+2•22+…+n•2n
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得-Sn=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=2+（n-1）•2n+1；
（3）证明：cn=
=
＞0，
设Tn=c1+c2+c3+…+cn，则T1＜T2＜T3＜T4，
当n≥4时，Tn=
+
+…+
＜
+
+
(
+…+
)=
+
•
-
•(
)n＜
+
•
＜
+
=
综上：c1+c2+c3+…+cn＜
| 1 |
| n |
∴
| an+1 |
| (n+1)2 |
| an |
| n2 |
∵a1=2，∴{
| an |
| n2 |
∴
| an |
| n2 |
∴an=n2•2n；
（2）解： bn=
| an |
| n |
∴Sn=1•21+2•22+…+n•2n
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得-Sn=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=2+（n-1）•2n+1；
（3）证明：cn=
| n |
| an |
| 1 |
| n•2n |
设Tn=c1+c2+c3+…+cn，则T1＜T2＜T3＜T4，
当n≥4时，Tn=
| 1 |
| 1•2 |
| 1 |
| 2•22 |
| 1 |
| n•2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 2n |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 23 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 30 |
| 7 |
| 10 |
综上：c1+c2+c3+…+cn＜
| 7 |
| 10 |
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，属于中档题．
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