题目内容
设函数f（x）=-4x+b，且不等式|f（x）|＜k的解集为{x|-1＜x＜2}．（Ⅰ）求b，k的值；
（Ⅱ）证明：函数φ(x)=
| 4x |
| f(x) |
| 1 |
| 2 |
分析：（Ⅰ）把绝对值不等式进行等价转化，求出解集，将求出的解集和已知的解集作对比，列方程组解出b，k的值．
（Ⅱ）在φ（x）图象上任取一点N（x°，y°），求出N（x°，y°）关于P(
，-1)的对称点N′的坐标，证明N′的坐标仍然满足函数φ（x）的解析式，即可证得结论成立．
（Ⅱ）在φ（x）图象上任取一点N（x°，y°），求出N（x°，y°）关于P(
| 1 |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-4x+b，∴|f（x）|＜k可化为|-4x+b|＜k，∴
＜x＜
，
又|f（x）|＜k的解集为{x|-1＜x＜2}，∴
解得
（6分）
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-4x+2，∴φ(x)=
=
=
，
在φ（x）图象上任取一点N（x°，y°），∴y°=
．
设N（x°，y°）关于P(
，-1)的对称点为N′，则N′（1-x°，-2-y°）．
∵φ(1-x°)=
=
，
又-2-y°=-2-
=
=
=φ(1-x°)，
+
=4
∴N′（1-x°，-2-y°）在函数φ（x）图象上，
∴函数φ(x)=
的图象关于点P(
，-1)对称．（13分）
| b-k |
| 4 |
| b+k |
| 4 |
又|f（x）|＜k的解集为{x|-1＜x＜2}，∴
|
|
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-4x+2，∴φ(x)=
| 4x |
| f(x) |
| 4x |
| -4x+2 |
| 2x |
| -2x+1 |
在φ（x）图象上任取一点N（x°，y°），∴y°=
| 2x° |
| -2x°+1 |
设N（x°，y°）关于P(
| 1 |
| 2 |
∵φ(1-x°)=
| 2(1-x°) |
| -2(1-x°)+1 |
| 2(1-x°) |
| 2x°-1 |
又-2-y°=-2-
| 2x° |
| -2x°+1 |
| 4x°-2-2x° |
| -2x°+1 |
| 2x°-2 |
| 1-2x° |
| (x+1)2+y2 |
| (x-1)2+y2 |
∴N′（1-x°，-2-y°）在函数φ（x）图象上，
∴函数φ(x)=
| 4x |
| f(x) |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查绝对值不等式的解法，证明函数图象关于某个点对称的方法：在函数的图象上任取一点，证明此点关于某点的对称点还在此函数的图象上．
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