Question

已知f（x）=-sinωxcosωx+cos²ωx-的周期为2π
（I）求f（x）的最大值以及取最大值时x的集合
（II）已知f（α）=，且α∈（0，），求cos（）

Answer 1

【答案】分析：（I）将f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由已知的周期，利用周期公式求出ω的值，确定出f（x）的解析式，由正弦函数的值域即可得出f（x）的最大值，以及取最大值时x的集合；
（II）由第一问确定的函数解析式及f（α）=，根据α的范围求出这个角的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+）的值，利用二倍角的正弦函数公式求出sin（2α+），把所求式子中的角变形并利用诱导公式化简，将sin（2α+）的值代入即可求出值．
解答：解：（I）f（x）=-sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），
∵T==2π，∴ω=，
∴f（x）=sin（x+），
∴f（x）的最大值为1，
∵此时x+=2kπ+，k∈Z，即x=2kπ-，k∈Z，
则取最大值时x的集合为{x|x=2kπ-，k∈Z}；
（II）f（α）=sin（α+）=，
∵α∈（0，），∴α+∈（，π），
∴cos（α+）=-，
∴sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=-，
则cos（2α+）=cos（2α+-）=cos[-（2α+）]=sin（2α+）=-．
点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象与性质，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．