题目内容

（2013•鹰潭一模）给出以下四个结论：
①函数f（x）=
3x-2
x-1
关于点（1，3）中心对称；
②在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件；
③若将函数f（x）=sin（2x-
π
3
）的图象向右平移Φ（Φ＞0）个单位后变为偶函数，则Φ的最小值是
π
12
；
④已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，则当k为奇数时，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列．其中正确的结论是
①③④
①③④
．
分析：①由图象变换的知识可知正确；②在△ABC中，由bcosA=acosB，可得△ABC为等腰三角形，但当△ABC为等腰三角形时，不能推出bcosA=acosB；③由题意可得Φ=
k
2
π+
π
12
，结合Φ＞0，可得结论；④由等比数列的“片段和”仍成等比数列，可得答案．
解答：解：①函数f（x）=
3x-2
x-1
=
3(x-1)+1
x-1
=3+
1
x-1
，其图象可由函数y=
1
x
的图象向右平移1个单位，
向上平移3个单位得到，故函数y=
1
x
的对称中心也由（0，0）移到点（1，3），
故已知函数的图象关于点（1，3）中心对称，故正确；
②在△ABC中，由bcosA=acosB，可得sinBcosA=sinAcosB，即sin（A-B）=0，可得A=B，故△ABC为等腰三角形，
而当△ABC为等腰三角形时，可能B=C，不能推出A=B，也不能推出bcosA=acosB，故不是充要条件，故错误；
③若将函数f（x）=sin（2x-
π
3
）的图象向右平移Φ（Φ＞0）个单位后，解析式变为f（x）=sin（2x-2Φ-
π
3
），
由偶函数可得2Φ+
π
3
=kπ+
π
2
，k∈Z，解得Φ=
k
2
π+
π
12
，结合Φ＞0，可得当k=0时，Φ取最小值
π
12
，故正确；
④已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，当公比q=1时，Sk，=ka1，S2k-Sk=ka1，S3k-S2k=ka1，显然有Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列，
当公比q≠1时，Sk=
a1(1-qk)
1-k
，S2k-Sk=
a1(1-q2k)
1-k
-
a1(1-qk)
1-k
=
a1(1-qk)
1-k
q，S3k-S2k=
a1(1-q3k)
1-k
-
a1(1-q2k)
1-k
=
a1(1-qk)
1-k
q2，
显然也有Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列，故正确．
故答案为：①③④
点评：本题考查命题真假的判断，涉及等比数列的性质和三角函数的性质，属基础题．
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OA
﹑
OB
﹑
OC
满足：
OA
-[y+2f'（1）]•
OB
+ln（x+1）•
OC
=
0
；
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；          
（Ⅱ）若x＞0，证明f（x）＞
2x
x+2
；
（Ⅲ）当
1
2
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5
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