Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右两个焦点分别为F₁，F₂．过右焦点F₂且与x轴垂直的直线l与双曲线C相交，其中一个交点为M(

2

，1)．
（1）求双曲线C的方程；（2）设双曲线C的虚轴一个端点为B（0，-b），求△F₁BM的面积．

Answer 1

分析：（1）由条件可知c=

2

，|MF₂|=1，|MF₁|=3，根据双曲线的定义得2a=|MF₁|-|MF₂|=3-1=2，由此可求出双曲线方程．
（2）由题意知M(

2

，1)，F1(-

2

，0)，B(0，-1)，直线MF₁的方程是

2

x-4y+2=0，点B到直线MF₁的距离d=

6

18

=

2

，|MF₁|=3，由此能求出△F₁BM的面积．

解答：解：（1）由条件可知c=

2

，|MF₂|=1，
在直角△F₁F₂M中|MF1|=

|MF2|2+|F1F2|2

=

1+(2 2 )2

=3，
根据双曲线的定义得2a=|MF₁|-|MF₂|=3-1=2，a=1，从而b=1，
所以双曲线方程为x²-y²=1．
（2）由题意知M(

2

，1)，F1(-

2

，0)，B(0，-1)，直线MF₁的方程是

2

x-4y+2=0（10分）
点B到直线MF₁的距离d=

6

18

=

2

，
又|MF₁|=3，所以S△F1BM=

1

2

|MF1|d=

3 2

2

．

点评：本题考查圆锥曲线的综合运用，解题时要注意公式的灵活运用．