Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）对一切正整数n成立
（1）证明：数列{a_n+3}是等比数列；
（2）求出数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由已知得S_n=2a_n-3n，S_n+1=2a_n+1-3（n+1），两式相减得：a_n+1=2a_n+3，由此能够证明数列{a_n+3}是等比数列．
（2）、数列{a_n+3}是首项为6，公比为2的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）对一切正整数n成立
∴S_n=2a_n-3n，S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
两式相减得：a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴

an+1+3

an+3

=2，
∴数列{a_n+3}是等比数列．
（2）∵

an+1+3

an+3

=2，a_n=

1

2

（3n+S_n），
∴a1=

1

2

(3+a1)，解得a₁=3，
∴a₁+3=6，
∴数列{a_n+3}是首项为6，公比为2的等比数列，
∴数列a_n+3=6•2^n-1，
故a_n=3（2ⁿ-1）．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法．解题时要认真审题，仔细解答．