Question

已知a≥0，且函数f(x)=(x²-2ax)e^x在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．

  

Answer 1

 [考场错解]  ∵f′(x)=e^x(x²-2ax)+e^x(2x-2a)=e^x[x²+2(1-a)x-2a]  又∵f(x)在[-1，1]上是单调函数，f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立.即 e^x[x²+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立． ∵e^x>0，g(x)=x²+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立．即或△=4(1-a)²+8a＜0或  解得：a∈Ø．故f(x)在[-1，1]上不可能为单调函数．

    [专家把脉]  上面解答认为f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数，其实f(x)还有可能为单调减函数，因此应令f′(x)≥0或f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．

[对症下药]  f′(x)=e^x(x²-2ax)+e^x(2x-2a)=e^x[x²+2(1-a)x-2a]   

∵f(x)在[-1，1]上是单调函数．(1)若f(x)在[-1，1]上是单调递增函数．

则f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立，即e^x[x²+2(1-a)x-2a]≥0在[-1，1]上恒成立．∵e^x>0．∴g(x)=x²+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立，则有或△=4(1-a)²+8a＜0或

解得，a∈Ø．

(2)若f(x)在[-1，1]上是单调递减函数，则f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．

    ∴e^x[x²+2(1-a)x-2a]≤0在[-1，1]上恒成立．    ∵e^x>0．∴h(x)=x²+2(1-a)x-2a≤0在[-1，1]上恒成立．则有∴当a∈[，+∞]时，f(x)在[-1，1]上是单调函数．