Question

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)的最小正周期为π，且点A(

π

3

，1)在函数的图象上．
（1）确定函数f（x）的表达式，求f（x）取得最大值时x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）通过函数的周期求出ω，利用点在函数的图象上，ω代入函数的方程，求出φ的值，确定函数f（x）的表达式，通过正弦函数的最值求f（x）取得最大值时x的取值集合；
（2）直接利用正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调增区间即可．

解答：解：（1）依题意得T=

2π

ω

=π，∴ω=2…（2分）     
 将点A(

π

3

，1)代入f（x）=sin（2x+φ）得sin(

2π

3

+φ)=1，
∴

2π

3

+φ=2kπ+

π

2

，∴φ=2kπ-

π

6

，
∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=-

π

6

…（5分）
所以f(x)=sin(2x-

π

6

)，
当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

3

，(k∈Z)时f（x）取得最大值，
些时x的取值集合是{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}…（8分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，(k∈Z)…（10分）
所以函数f（x）的单调增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，(k∈Z)…（12分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的最值的应用，单调增区间的求法，考查计算能力．