题目内容

求同时满足下列两个条件的所有复数z：①z+ $数学公式$ 是实数，且1＜z+ $数学公式$ ≤6；②z的实部和虚部都是整数．

解：设z+ $\text{[math]}$ =t，则 z²-tz+10=0，
∵1＜t≤6，∴△=t²-40＜0，
解方程得 z= $\text{[math]}$ ± $\text{[math]}$ i，
又∵z的实部和虚部都是整数，
∴t=2或t=6，
故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i．
分析：根据题意，对于①从整体角度思考，可视z+ $\text{[math]}$ 为一个整体t，进行整体换元，得到 z²-tz+10=0，对于②利用求根公式解出 z，再利用z的实部和虚部都是整数，求出t，即得满足条件的复数z．
点评：本题考查一元二次方程在判别式小于0时的解法，体现了换元的思想．

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已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令bn=

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求证：Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)＜

（n≥1）；
（Ⅲ）令Tn=

(b1a+b2a2+b3a3+…+bnan)（a＞0），求同时满足下列两个条件的所有a的值：①对于任意正整数n，都有Tn＜

；②对于任意的m∈(0，

)，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀时，T_n＞m．

已知在数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=

是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）当t=2时，令bn=

，数列{b_n}前n项的和为S_n，求证：S_n＜

（Ⅲ）设cn=

，数列{c_n}前n项的和为T_n，求同时满足下列两个条件的t的值：
（1）Tn＜

（2）对于任意的m∈(0，

)，均存在k∈N*，当n≥k时，T_n＞m．

求同时满足下列两个条件的所有复数z：
①z+

是实数，且1＜z+

≤6；
②z的实部和虚部都是整数．

（14分）已知在数列｛a_n｝中，a₁=t，a₂=t²，其中t>0，x=是函数f(x)=a_n-1x³-3[(t+1)a_n-a_n+1]x+1 (n≥2)的一个极值点（Ⅰ）求数列｛a_n｝的通项公式

（Ⅱ）当时，令，数列前项的和为，求证：

（Ⅲ）设，数列前项的和为，求同时满足下列两个条件的的值：（1）（2）对于任意的，均存在，当时，

已知集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C的个数：①，且中含有3个元素；②（表示空集）．