题目内容

已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）．令bn=
1
an•an+1
．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2x-1，求证：Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)＜
1
6
（n≥1）；
（Ⅲ）令Tn=
1
2
(b1a+b2a2+b3a3+…+bnan)（a＞0），求同时满足下列两个条件的所有a的值：①对于任意正整数n，都有Tn＜
1
6
；②对于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在n0∈N*，使得n≥n0时，Tn＞m．
分析：（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）即an=an-1+2n-1再用累加法求解．
（Ⅱ）由（I）求得bn，再观察Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）可用裂项相消法求解．
（Ⅲ）受（II ）的启发，我们可以先a=2研究，由（Ⅱ）知：Tn＜
1
6
，即条件①满足；又0＜m＜
1
6
，
∴Tn＞m?
1
2
(
1
1+2
-
1
2n+1+1
)＞m?2n+1＞
3
1-6m
-1?n＞log2(
3
1-6m
-1)-1＞0．
因为是恒成立，所以取n0等于不超过log2(
3
1-6m
-1)的最大整数，则当n≥n0时，Tn＞m（ⅱ）当a＞2时，∵n≥1，
an
2n
=(
a
2
)n≥
a
2
，∴an≥
a
2
•2n，．（ⅲ）当0＜a＜2时，∵n≥1，
an
2n
=(
a
2
)n≤
a
2
，∴an≤
a
2
•2n，分别放缩研究．
解答：解：（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）
即an=an-1+2n-1（n≥3）（1分）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a3-a2）+a2
=2n-1+2n-2++22+5
=2n-1+2n-2++22+2+1+2
=2n+1（n≥3）（3分）
检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1．（4分）
（Ⅱ）由于bnf(n)=
1
(2n+1)(2n+1+1)
•2n-1=
1
2
•
(2n+1+1)-(2n+1)
(2n+1)(2n+1+1)
=
1
2
(
1
2n+1
-
1
2n+1+1
)
故Tn=b1f(1)+b2f(2)++bnf(n)=
1
2
[(
1
1+2
-
1
1+22
)+(
1
1+22
-
1
1+23
)++(
1
2n+1
-
1
2n+1+1
)]
=
1
2
(
1
1+2
-
1
2n+1+1
)＜
1
2
•
1
1+2
=
1
6
．（9分）
（Ⅲ）（ⅰ）当a=2时，由（Ⅱ）知：Tn＜
1
6
，即条件①满足；又0＜m＜
1
6
，
∴Tn＞m?
1
2
(
1
1+2
-
1
2n+1+1
)＞m?2n+1＞
3
1-6m
-1?n＞log2(
3
1-6m
-1)-1＞0．
取n0等于不超过log2(
3
1-6m
-1)的最大整数，则当n≥n0时，Tn＞m．（10分）
（ⅱ）当a＞2时，∵n≥1，
an
2n
=(
a
2
)n≥
a
2
，∴an≥
a
2
•2n，
∴bn•an≥bn•
a
2
•2n=
a
2
•bn•2n．
∴Tn=
n
i=1
(
1
2
biai)≥
a
2
n
i=1
(bi•2i-1)=
a
2
•
1
2
(
1
1+2
-
1
2n+1+1
)．
由（ⅰ）知存在n0∈N*，当n≥n0时，
1
2
(
1
1+2
-
1
2n+1+1
)＞
1
3a
，
故存在n0∈N*，当n≥n0时，Tn=
a
2
•
1
2
(
1
1+2
-
1
2n+1+1
)＞
a
2
•
1
3a
=
1
6
，不满足条件．（12分）
（ⅲ）当0＜a＜2时，∵n≥1，
an
2n
=(
a
2
)n≤
a
2
，∴an≤
a
2
•2n，
∴bn•an≤bn•
a
2
•2n=
a
2
•bn•2n．
∴Tn=
n
i=1
1
2
(biai)≤
n
i=1
a
2
(bi2i-1)=
a
2
•
1
2
(
1
1+2
-
1
2n+1+1
)．
取m=
a
12
∈(0，
1
6
)，若存在n0∈N*，当n≥n0时，Tn＞m，
则
a
2
•
1
2
(
1
1+2
-
1
2n+1+1
)＞
a
12
．
∴
1
1+2
-
1
2n+1+1
＞
1
3
矛盾．故不存在n0∈N*，
当n≥n0时，Tn＞m．不满足条件．
综上所述：只有a=2时满足条件，故a=2．（14分）
点评：本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，具体到一般分类讨论等思想方法的运用．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，则
lim
n→∞
an=
 
．
已知数列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．
已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
2n
an
}的前n项和Tn．
已知数列{an}中，a1=
1
2
，Sn为数列的前n项和，且Sn与
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*），则
lim
n→∞
Sn=
1
1
．
已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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