Question

已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=5，a₅=11．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

a 2 n -1

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）等差数列{a_n}中，由a₂=5，a₅=11，先求出a₁=3，d=2．由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（Ⅱ）由a_n=2n+1，知bn=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由已知条件得

a1+d=5 a1+4d=11

，
解得a₁=3，d=2．…（4分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1．
所以bn=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）．…（10分）
所以T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．
即数列{b_n}的前n项和T_n=

n

4(n+1)

．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．